胡克弹簧物理、贝塞尔曲线与视觉美化

Koma 在 init.lua 中将确定性的 阻尼胡克定律半隐式欧拉（Semi-Implicit Euler）弹簧求解器、自定义 三次贝塞尔曲线（Cubic Bezier）、分通道动画样式、Dual Kawase 毛玻璃模糊、渐变旋转边框以及逐窗口美化规则整合为一体。

阻尼胡克定律半隐式欧拉求解器

在默认模式（solver = "spring"）下，Koma 通过二阶阻尼弹簧常微分方程驱动窗口位置、尺寸、透明度、焦点过渡与工作区偏移：

m \ddot{x} + c \dot{x} + k (x - x_{target}) = 0

给定质量 $m \geq 0.01$ 、阻尼系数 $c \geq 0.0$ 、刚度 $k \geq 1.0$ 与收敛阈值 $ε \geq 10^{- 6}$ ，每个子步先更新速度再更新位置（辛欧拉 / 半隐式欧拉积分）：

v_{t + Δ t} = v_{t} + \frac{- k (x_{t} - x_{target}) - c v_{t}}{m} Δ t

x_{t + Δ t} = x_{t} + v_{t + Δ t} Δ t

若改用无量纲阻尼比 $ζ$ 配置，Koma 会自动按 $c = 2 ζ \sqrt{m k}$ 换算物理阻尼。

子步分割与动态目标动量保持

为在高刷屏或偶发掉帧场景下保持数值稳定性并实现单轨 $O (1)$ 时间、 $O (1)$ 空间复杂度：

单帧总时间步长限制在 $0.0 \leq Δ t \leq 0.1 s$ ，并拆分为 $N = ⌈ Δ t / (1 / 240) ⌉ \in [1, 24]$ 个等长子步。
当拖动窗口、悬停切换焦点、重排平铺或快速切换工作区导致目标突变时，retarget 仅更新 $x_{target}$ 而不重置当前位移 $x$ 与速度 $v$ ，完整保留已有物理动量。
当 $| x - x_{target} | \leq 50 ε$ 且 $| v | \leq 250 ε$ 时，轨道精确吸附到静止态。

全局或单条曲线也可显式指定 solver = "analytical_spring" 以启用解析弹簧求解器。

自定义三次贝塞尔曲线（`koma.bezier`）

使用 koma.bezier(name, x1, y1, x2, y2, duration_ms)（或表参数形式）注册命名曲线：

控制点 $x_{1}, x_{2}$ 限制在 $[0.0, 1.0]$ ， $y_{1}, y_{2}$ 支持 $[- 2.0, 3.0]$ ，可直接表达类似 [0.05, 0.9, 0.1, 1.1] 的过冲回弹效果。
动画时长限制在 $1 \leq d \leq 5000 ms$ 。
求解 $X (u) = τ$ 时采用 8 轮 Newton-Raphson 迭代与 12 轮二分法兜底（ $O (1)$ 时间与空间），并按链式法则计算实时速度 $\dot{x} (t)$ ，确保中途改向或切回弹簧物理时速度连续衔接。

内置曲线预设与分通道绑定

开箱即用的内置曲线预设如下：

预设名	定义	运动风格
`linear`	`[0.0, 0.0, 1.0, 1.0]`	匀速线性插值
`ease_out` / `default`	`[0.22, 1.0, 0.36, 1.0]`	干脆的先快后慢缓出
`md3_decel`	`[0.05, 0.7, 0.1, 1.0]`	Material Design 3 减速曲线
`overshot`	`[0.05, 0.9, 0.1, 1.1]`	轻盈的过冲回弹
`fluent`	`[0.1, 0.9, 0.2, 1.0]`	Fluent 平滑减速曲线
`snappy_spring`	`m = 1.0, c = 36.0, k = 420.0`	紧致迅速的响应弹簧
`bouncy_spring`	`m = 1.0, c = 20.0, k = 320.0`	弹性明显的回弹弹簧
`gentle_spring`	`m = 1.2, c = 28.0, k = 180.0`	柔和舒缓的阻尼弹簧

注册自定义弹簧与贝塞尔曲线后，可分别为 windows_open（别名 windows_in）、windows_close（别名 windows_out）、windows_move、fade、border 与 workspaces 通道绑定曲线和样式：

koma.bezier("rice_pop", 0.05, 0.9, 0.1, 1.1, 260)
koma.spring("glide", { mass = 1.0, damping_ratio = 0.82, stiffness = 360.0 })

koma.appearance({
  animations = {
    enabled = true,
    solver = "spring",
    windows_open = { enabled = true, curve = "rice_pop", style = "popin 85%" },
    windows_close = { enabled = true, curve = "glide", style = "slide" },
    windows_move = { enabled = true, curve = "glide" },
    fade = { enabled = true, curve = "md3_decel", duration_ms = 180 },
    border = { enabled = true, curve = "snappy_spring" },
    workspaces = { enabled = true, curve = "overshot", style = "slidevert" },
  },
})

窗口开关动画支持 popin（如 popin 85%）、slide（自动从最近视口边缘滑入，或显式指定 slide top|bottom|left|right）、gnomed 与 fade；工作区切换支持 slide、slidevert、fade 与 none（在无头录制与录屏场景中会自动跳过过渡）。

渐变边框、Dual Kawase 模糊与窗口美化规则

将 OpenGL ES 2.0 兼容的多段渐变旋转边框、Dual Kawase 毛玻璃模糊与逐窗口规则组合配置：

koma.appearance({
  border = {
    width = 2,
    radius = 12,
    active_color = "#7aa2f7ff",
    active_color_end = "#bb9af7ff",
    inactive_color = "#292e42cc",
    inactive_color_end = "#1f2335cc",
    gradient_angle = 45.0,
    gradient_rotate_rpm = 6.0,
  },
  blur = {
    enabled = true,
    passes = 3,
    size = 6,
  },
})

koma.rule.window({
  name = "terminal-rice",
  matches = { { app_id = "^foot$" } },
  opacity = 0.96,
  inactive_opacity = 0.84,
  animation = "popin 88%",
  border_color = "#7dcfffff",
})

koma.rule.window({
  name = "video-player-clean",
  matches = { { app_id = "^mpv$" } },
  no_blur = true,
  no_shadow = true,
  inactive_opacity = 1.0,
})

聚焦状态切换时，WindowAnimationTable 会根据 border 曲线实时插值 focus_factor $\in [0, 1]$ ，在激活边框色与非激活边框色之间平滑过渡。