フックの法則バネ物理・ベジェ曲線・外観カスタマイズ

Koma は init.lua 上で、決定論的な 減衰フックの法則・半陰的オイラー法（Semi-Implicit Euler）バネソルバー、カスタム 3次ベジェ曲線、チャネル別アニメーションスタイル、Dual Kawase ブラー、回転グラデーションボーダー、ウィンドウ単位の Rice ルールを統合しています。

減衰フックの法則・半陰的オイラー法ソルバー

既定（solver = "spring"）では、ウィンドウの位置・サイズ・不透明度・フォーカス補間・ワークスペース移動を以下の 2 階減衰バネ常微分方程式で駆動します。

m \ddot{x} + c \dot{x} + k (x - x_{target}) = 0

質量 $m \geq 0.01$ 、減衰係数 $c \geq 0.0$ 、ばね定数 $k \geq 1.0$ 、収束閾値 $ε \geq 10^{- 6}$ が与えられると、各サブステップで先に速度、次に位置を更新します（シンプレクティック／半陰的オイラー積分）。

v_{t + Δ t} = v_{t} + \frac{- k (x_{t} - x_{target}) - c v_{t}}{m} Δ t

x_{t + Δ t} = x_{t} + v_{t + Δ t} Δ t

物理減衰 $c$ の代わりに無次元減衰比 $ζ$ を指定した場合、Koma は $c = 2 ζ \sqrt{m k}$ として自動換算します。

サブステップ分割と動的ターゲットの運動量保持

高リフレッシュレート環境やフレームドロップ時にも数値安定性を保ち、1 トラックあたり $O (1)$ 時間・ $O (1)$ 空間で計算するため、以下の設計を採用しています。

フレーム経過時間は $0.0 \leq Δ t \leq 0.1 s$ にクランプされ、 $N = ⌈ Δ t / (1 / 240) ⌉ \in [1, 24]$ 個の等間隔サブステップへ分割されます。
ドラッグ操作、ホバーによるフォーカス移動、タイリング再配置、連続ワークスペース切替などでターゲットが途中変更された場合でも、retarget は位置 $x$ と速度 $v$ を維持したまま $x_{target}$ のみを更新し、物理的運動量を保ちます。
$| x - x_{target} | \leq 50 ε$ かつ $| v | \leq 250 ε$ に達した時点で静止状態へスナップします。

解析解ベースのバネを望む場合は、全体または曲線単位で solver = "analytical_spring" を指定できます。

カスタム 3次ベジェ曲線（`koma.bezier`）

koma.bezier(name, x1, y1, x2, y2, duration_ms) またはテーブル形式で名前付きベジェ曲線を登録できます。

制御点 $x_{1}, x_{2}$ は $[0.0, 1.0]$ に制限され、 $y_{1}, y_{2}$ は $[- 2.0, 3.0]$ を許容するため [0.05, 0.9, 0.1, 1.1] のようなオーバーシュート表現が可能です。
再生時間は $1 \leq d \leq 5000 ms$ にクランプされます。
$X (u) = τ$ の求解には 8 回の Newton-Raphson 反復と 12 回の二分法フォールバックを用い（ $O (1)$ 時間・空間）、連鎖律に基づく実時間速度 $\dot{x} (t)$ を算出してバネ運動への滑らかな引き継ぎを実現します。

組み込みプリセットとチャネル別設定

名前で直接参照できる組み込みカーブ一覧：

プリセット名	定義	特性
`linear`	`[0.0, 0.0, 1.0, 1.0]`	等速リニア
`ease_out` / `default`	`[0.22, 1.0, 0.36, 1.0]`	キレのある標準イーズアウト
`md3_decel`	`[0.05, 0.7, 0.1, 1.0]`	Material Design 3 減速
`overshot`	`[0.05, 0.9, 0.1, 1.1]`	軽快なオーバーシュート
`fluent`	`[0.1, 0.9, 0.2, 1.0]`	滑らかな Fluent カーブ
`snappy_spring`	`m = 1.0, c = 36.0, k = 420.0`	俊敏で引き締まったバネ
`bouncy_spring`	`m = 1.0, c = 20.0, k = 320.0`	反発感のあるバウンスバネ
`gentle_spring`	`m = 1.2, c = 28.0, k = 180.0`	落ち着いた減衰バネ

カスタム曲線を登録したうえで、windows_open（エイリアス windows_in）、windows_close（エイリアス windows_out）、windows_move、fade、border、workspaces の各チャネルに割り当てます。

koma.bezier("rice_pop", 0.05, 0.9, 0.1, 1.1, 260)
koma.spring("glide", { mass = 1.0, damping_ratio = 0.82, stiffness = 360.0 })

koma.appearance({
  animations = {
    enabled = true,
    solver = "spring",
    windows_open = { enabled = true, curve = "rice_pop", style = "popin 85%" },
    windows_close = { enabled = true, curve = "glide", style = "slide" },
    windows_move = { enabled = true, curve = "glide" },
    fade = { enabled = true, curve = "md3_decel", duration_ms = 180 },
    border = { enabled = true, curve = "snappy_spring" },
    workspaces = { enabled = true, curve = "overshot", style = "slidevert" },
  },
})

ウィンドウ開閉スタイルは popin（popin 85% 等）、slide（最近接エッジ、または slide top|bottom|left|right）、gnomed、fade をサポートします。ワークスペース遷移は slide、slidevert、fade、none に対応し、ヘッドレス記録や画面共有時は自動的に遷移をスキップします。

グラデーションボーダー・Dual Kawase ブラー・ウィンドウルール

GLES2 互換の回転グラデーションボーダーと Dual Kawase ブラーをウィンドウ単位ルールと組み合わせます。

koma.appearance({
  border = {
    width = 2,
    radius = 12,
    active_color = "#7aa2f7ff",
    active_color_end = "#bb9af7ff",
    inactive_color = "#292e42cc",
    inactive_color_end = "#1f2335cc",
    gradient_angle = 45.0,
    gradient_rotate_rpm = 6.0,
  },
  blur = {
    enabled = true,
    passes = 3,
    size = 6,
  },
})

koma.rule.window({
  name = "terminal-rice",
  matches = { { app_id = "^foot$" } },
  opacity = 0.96,
  inactive_opacity = 0.84,
  animation = "popin 88%",
  border_color = "#7dcfffff",
})

koma.rule.window({
  name = "video-player-clean",
  matches = { { app_id = "^mpv$" } },
  no_blur = true,
  no_shadow = true,
  inactive_opacity = 1.0,
})

フォーカス切替時には WindowAnimationTable が border カーブに沿って focus_factor $\in [0, 1]$ を補間し、アクティブ・非アクティブ間のボーダー色を滑らかに遷移させます。